按《斯坦福哲学百科全书》“悖论”条目的定义，悖论通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，推导的结论超出“通常可接受的见解”      或者说结论是有矛盾的      悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说      悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A      悖论除了按上述的定义外，20世纪最有影响的美国哲学家、逻辑学家之一威拉德·范奥曼·蒯因（Willard Van Orman Quine）还区分出下面两种情况：谬误悖论（falsidical paradox）：其推理过程是有谬误的，但据此确立的命题不但似乎是荒谬的，而且确实是错误的，归类于谬误      对于有些涉及无限的古典悖论，如芝诺悖论中的“阿基里斯悖论和飞矢不动悖论，尽管可以看出其谬误（既：应该用微积分来处理“无限”），但其逻辑推理方式在当时是基本被认可的，所以在当时是可以称为悖论      但是，微积分出现以后，可以看出芝诺悖论的推理中用有谬误的推理过程，应该归类于谬误      真实性悖论（veridical paradox）：是一个无矛盾的命题      其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的      其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论      如，希尔伯特旅馆悖论      在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”      这些难题涉及基本概念以及定义和推理的基本方法，这些以前通常被认为是没有问题的      悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现（通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性）      逻辑的几个基本概念发展过程，之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试      对于集合（set）和类（collection）的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念（给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念）出现而言，尤其如此      研究悖论解决方案的副产品包括：集合论的公理化，类型论的系统发展，语义学的基础，形式系统的理论      古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力      解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念      根据悖论形成的原因，把它归纳为六种类型，所记都是流传很广的常见悖论      随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成果将极大地改变我们的思维观念      以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题      由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论      自指类悖论例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环      针对这种恶性循环，罗素提出了一种解决办法，并称之为恶性循环原则（Vicious-Circle Principle），其细节可参见百科恶性循环原则条目      自指类悖论进一步的解决方法可参见《斯坦福哲学百科全书》自指相关（Self-Reference）条目的第三章      谎言者悖论又称为说谎者悖论      公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说      ”这就是这个著名悖论的来源      《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）      可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣      我在说谎如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎      矛盾不可避免      它的一个翻版：这句话是错的这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实（开始设定的）不符      这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了      这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环      解悖研究哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法      他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来      这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么      在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了      ”他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’      事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体      只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论      ”（同上）罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷      ”但是这一方法并没有取得成效      “1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功      ”（同上）《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意      但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书      ”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易      接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子      ”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除      但是在集合论里，问题并不这么简单      在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发      ”有人问他：“你给不给自己理发      ”理发师顿时无言以对      这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人      有言在先，他应该给自己理发      反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发      因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾      这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述      显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题      命题“R是所有不包含自身的集合的集合”被称为集合论悖论，这个悖论是罗素在1902年提出来的，所以又叫罗素悖论      人们同样会问：“R包含不包含R自身      ”如果不包含，由R的定义，R应属于R      如果R包含自身的话，R又不属于R      继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel，1906—1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了19世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想      这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题      例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备      一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书      那么它列不列出自己的书名      这个悖论与理发师悖论基本一致      有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470—前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对      他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说      但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表      在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承      苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道      ”这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道      “言尽悖”是《庄子·齐物论》里庄子说的      后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗      我们常说：世界上没有绝对的真理      我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”      柏拉图（Platon，Πλάτων，约前427年—前347年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家      柏拉图说：“苏格拉底的下句话是错误的”      苏格拉底说：“柏拉图说得对      ”不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾      两个句子都不是自我诠释，但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论      有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”      悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”      对于这样一个条件语句C：“若C，则F”，只需要一些显然无害的逻辑推导规则，就可以推导出：仅从句子C的存在就证明了任意主张F      由于F是任意的，因此遵循这些逻辑规则的任何逻辑系统都可以证明所有命题，这就引起矛盾， 违反了经典逻辑的无矛盾律；因此，这是一个悖论      柯里悖论（Curry's paradox）由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里在1942年提出，并且以其命名      柯里悖论可以像罗素悖论一样，以逻辑悖论的形式出现，但它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现      模糊类悖论的呈现依赖于用含混的概念进行推理，所得到的的结论也是含混的，可以归类于为推理谬误，并不是真正的悖论，是属于谬误悖论（falsidical paradox）      连锁悖论（sorites paradox）是古希腊麦加拉学派欧布里德和阿莱克西努提出的一系列疑难中的一种      指一个微小量的连续相加或相减，最后达到一个不同质的事物      这是由逻辑演绎与事实演变的差别而产生的形式思维矛盾      著名的例子有谷堆论证（也称：谷堆悖论）和秃头论证（也称：秃头悖论）      谷堆论证：如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆      由于多少粒谷子可被认为是谷堆是含混的概念，并没有一个绝对的标准      连锁悖论的存在主要依赖于一些含混的概念      概念的含混性为连锁悖论的出现创造了条件，引起推理谬误，是属于谬误悖论（falsidical paradox）      见百科条目：忒修斯之船悖论      下面无限类悖论可区分为两种类别：谬误悖论（falsidical paradox），是由于有谬误的推理过程产生的，归类于谬误      这个类别包括下面的阿基里斯悖论，二分法悖论，飞矢不动悖论      如果，推理过程采用微积分来处理“无限”，则不会推导出矛盾的悖论结果      无矛盾的命题，也被称为真实性悖论（veridical paradox）：其产生的结果看起来很荒谬，其推理过程和其结果都没有问题，是无矛盾的命题      这个类别包括下面的，“点一样多”，和希尔伯特旅馆悖论      稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个      阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄      芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了      阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟      方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量      一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2      当时间T=S/（V1－V2）时，阿基里斯就赶上了乌龟      但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T'      对于任何T'，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面      关键是这个T'无法度量T=S/（V1－V2）以后的时间      二分法悖论是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去      因此，这个物体永远也到达不了D      这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔      芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的      ”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”      这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠      他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”      根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬：飞矢不动是芝诺提出的一个悖论      在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别      那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗      或者无限重复的静止就是运动      中国古代也有类似的说法，如：这是《庄子·天下》中惠施的一句名言      二千多年前中国古人同样运用了无限的概念      战国名家宋国人惠施（约公元前370—前310）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物      他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段      惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程      惠施的悖论在西方也很有影响      毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点      1964年8月18日，他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分      举原子为例，不但原子可分，电子也可分      ”又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的      ‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’，这是个真理      不信，就试试看      如果有竭就没有科学了      ”有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如50年代中期对核物理学家钱三强，1964年8月同周培源、于光远，1973年、1974年接见杨振宁、李政道，等等，都提到这句话      点一样多悖论：“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多      ”多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍      23岁获博士学位的德国数学家康托尔（1845—1918）六年以后向无穷宣战      他成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应      由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”      然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂      直到1897年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础      罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”      在康托尔的理论被认可的基础上，“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”的命题不再是悖论，而是一个无矛盾的命题，也被称为真实性悖论（veridical paradox）      见百科条目：希尔伯特旅馆悖论      这实际是一个无矛盾的命题，也被称为真实性悖论（veridical paradox）